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Aggiunto manuale Latex

Nella sezione appunti ho appena inserito una piccola guida che ho realizzato tempo fa per LaTex e che mi sono appena riproposto di portare avanti. Verrà aggiornata appena avrò un po' di tempo. Ovviamente NON è un MANUALE ma semplicemente una guida con qualche consiglio che magari non si trova direttamente sui manuali, a meno di passare ore a cercare su internet. Vuole essere un aiuto per chi già mastica qualcosa di LaTex ma non trova un modo veloce e intelligente per fare, che so, le matrici!

Ho aggiunto anche una mia relazione fatta per il corso di Chimica Fisica della Stratosfera.. L'ho messa semplicemente per far vedere quali possibilità ci sono con LaTex, non prendetela come riferimento per nessun motivo (anche perché l'esame non è stato così soddisfacente :) )!

In ultimo ho aggiunto anche delle slides fatte per un altro corso in modo da mostrare quanto possono essere belle e funzionali le diapositive fatte con LaTex.  A breve inserirò un manuale su come utilizzare LaTex per creare diapositive!

Ci si bagna di più correndo o camminando sotto la pioggia?

Se sta piovendo, ci si bagnerà di più correndo o camminando verso un rifugio? Si può dimostrare che la risposta dipende dalla direzione di caduta della pioggia (verticale o diagonale) e dalla direzione verso cui ci si sta muovendo.

Immaginiamo di trovarci (malauguratamente) sotto ad un diluvio con in mano una spugna: questa sarà il nostro metro di riferimento per valutare se ci siamo bagnati tanto o poco. Prendiamo quindi una spugna rettangolare che si muove a velocità V verso destra. Supponiamo che le gocce di pioggia cadano verticalmente ad una velocità R. Le due aree della spugna saranno rispettivamente A_T e A_FLa spugna

Assumiamo che il numero totale delle gocce di pioggia per volume (concentrazione) sia n e costante. Il flusso di gocce di pioggia che incidono sulla spugna dall'alto (ovvero il numero di gocce di pioggia che cadono sulla parte superficiale della spugna per secondo) è dato da

F_T=nRA_T

La parte nR tiene conto del numero di gocce che cadono alla velocità R in un certo volume, moltiplicando per l'area della spugna A_T si ottengono proprio le gocce che cadono sopra alla spugna. Notate che questo valore è indipendente dalla velocità della spugna, e quindi dalla vostra velocità. Similmente il flusso delle gocce di pioggia sull'area A_F è

F_F=nVA_F

questo dipende dalla vostra velocità, in particolare più la velocità è alta e più gocce saranno raccolte dalla parte frontale della spugna. Traendo conclusioni affrettate si potrebbe pensare che, camminando più lentamente, ci si bagnerebbe di meno, dato che il flusso sarebbe minore. D'altra parte, più tempo la spugna sarà esposta alle gocce, e più si bagnerà! Per valutare correttamente l'effetto della velocità, bisogna trovare quante gocce arriveranno sulla spugna nel tempo che si impiega per arrivare al posto riparato più vicino. Se la distanza dal rifugio è d, allora il tempo per arrivarci è t=d/V (dato che ci muoviamo a velocità V). Il numero totale di gocce che entrano nella spugna durante questo tempo è

N=(nRA_T+nVA_F)\frac{d}{V}=\frac{nRA_Td}{V}+nA_Fd

ovvero la somma dei due flussi visti prima, moltiplicata per il tempo impiegato per arrivare al rifugio. In parole povere: N è la somma delle gocce che cadono sulla parte superiore della spugna e sulla parte frontale, durante il tempo t. Quindi

il numero totale di gocce che entrano dalla parte frontale NON dipende dalla velocità della spugna; il numero totale di gocce che entrano invece dalla parte superiore dipende inversamente dalla velocità: più la spugna si muove lentamente, più gocce entreranno nella spugna dall'alto.

Quindi, muovendosi più velocemente, si minimizza il numero di gocce che ci bagnano: anche se l'aumento di velocità causa una maggiore raccolta di gocce frontalmente, il tempo impiegato per arrivare al rifugio è minore quindi ci si bagna nello stesso modo sul davanti, mentre superiormente il numero di gocce raccolte è minore! Quindi la velocità è importante solo per stabilire il numero di gocce che ci cascano in testa: più ci muoviamo lentamente e più ne raccoglieremo. Infatti il ragionamento fatto per una spugna rettangolare si può fare per un corpo di forma qualsiasi, a patto di identificare due aree A_F,A_T.

E se la pioggia cadesse in diagonale?

Se la pioggia cade ad un angolo dovuto ad una certa velocità del vento W, dobbiamo utilizzare la velocità relativa V_r=V-W per calcolare il flusso di gocce che incidono sulla spugna

Il secondo caso con Pioggia obliqua

che è dato da

F_F=n(V-W)A_F

Notate che un vento in coda diminuirà il flusso di gocce frontalmente, mentre un vento in testa (dal davanti, quindi con W opposta a V, ovvero con W negativa). Se W è positiva, e più grande di V (ovvero il vento si muove più velocemente di noi), allora il flusso di gocce frontalmente è negativo. Fisicamente, questo significa che le gocce colpiranno con più probabilità il retro della spugna, piuttosto che la parte frontale, e questo renderebbe la spugna ugualmente bagnata. Per tenere conto di tutti i casi, dobbiamo ignorare i segni e prendere quindi il valore assoluto della differenza tra le due velocità

F_\text{FB}=n|V-W|A_F

L'equazione per il numero totale di gocce che cadono lungo la distanza percorsa d stavolta è

N=\frac{nRA_Td}{V}+nA_Fd\frac{|V-W|}{V}

Stavolta il secondo termine rappresenta il numero di gocce che entrano dal davanti o dal dietro della spugna. Da notare che se V=W allora questo termine sparisce, e l'unico flusso sarebbe quello nella parte superiore della spugna! 

Quindi, mentre state cercando rifugio durante un temporale, che la pioggia cada verticalmente o obliquamente verso di voi, per stare asciutti il più possibile dovrete muovervi il più veloce possibile verso il primo luogo riparato. In presenza di un vento in coda, l'unico modo per bagnarsi il meno possibile sarà quello di muoversi verso il rifugio alla stessa velocità del vento.

 

..da un'idea della prof.ssa De Caria (Millersville University)

La catastrofe siamo noi

Vulcani, Tornado, Uragani, Alluvioni, Fulmini, Terremoti.

E' quasi impossibile non associare ognuno di questi eventi a grandi catastrofi del passato. Eppure l'accezione negativa, che siamo soliti affibbiare a questi eventi naturali, non è altro che la sola conseguenza della nostra storia. Al tempo dei Greci e dei Romani si credeva che questi fenomeni fossero legati direttamente agli dei ed alla manifestazione della loro collera verso una particolare popolazione. L'eruzione Pliniana del Vesuvio nel 79 d.C., i maremoti, le tempeste incontrate da Ulisse, sono solo alcuni esempi. Paradossalmente, i progressi scientifici fatti negli ultimi secoli, non sono andati di pari passo con la "credenza" popolare. Tralasciando le persone che ancora credono nella manifestazione della collera di qualche Dio, c'è ancora molta ignoranza su quello che  fenomeni come alluvioni o terremoti effettivamente rappresentano. Troppo spesso si sente associare dai media il termine catastrofe alla manifestazione di questi eventi naturali. In effetti sulla scia lasciata da un torrente in piena o nella zona colpita da un terremoto  si trova sempre qualche insediamento umano (abusivo o non) colpito dalla furia distruttrice. Risulta quindi ovvio dare la colpa al pianeta Terra che ha deciso malauguratamente di scaricare la sua potenza proprio in quel luogo.

Non c'è niente di più sbagliato in un ragionamento di questo tipo. Siamo ormai nel secondo millennio, e quindi bisogna imparare a pensare razionalmente. Vediamo di capire come.

Il nostro Pianeta (sì, la Terra) ci ospita da circa 200.000 anni, sopportando i nostri vizi e la nostra ossessiva presenza in continua crescita. La Terra è un sistema che, sotto l'azione di molte e diverse perturbazioni, tende a raggiungere un certo grado di equilibrio locale. I fenomeni che abbiamo citato prima non sono altro che i meccanismi attraverso i quali il pianeta tenta di stabilire l'equilibrio. I vulcani rappresentano l'emissione di materiale ad alta temperatura dall'interno della Terra, ovvero un meccanismo attraverso il quale il pianeta perde calore nello spazio. I fulmini nascono per contrastare la corrente di bel tempo che fluisce in modo naturale in assenza di fenomeni temporaleschi. Le alluvioni sono una delle componenti del ciclo dell'acqua, quindi un meccanismo attraverso il quale gestire un surplus di vapore acqueo in atmosfera. Gli uragani derivano da fenomeni a scala globale che tendono ad equilibrare le anomalie di pressione su diverse parti del globo. Si potrebbe andare avanti all'infinito nel cercare di riconoscere un meccanismo di raggiungimento dell'equilibrio in tutti i fenomeni naturali. Anche se siamo in grado di spiegare solo una parte infinitesima dei fenomeni che ci circondano, sappiamo che la Natura tende all'equilibrio. Ad un'azione esterna che perturba il sistema segue sempre un meccanismo di risposta da parte dello stesso, che può avere una scala temporale molto grande (inquinamento, cambiamenti climatici..).

La cosa fondamentale da capire è quindi che fenomeni come alluvioni e terremoti sono il modo naturale attraverso cui la Terra cerca di raggiungere lo stato di equilibrio, ovvero lo stato più stabile in Natura. Non c'è niente di catastrofico o innaturale in questi fenomeni!

Il fatto che le case siano costruite sulle pendici di un vulcano, senza norme antisismiche o abusivamente nel letto dei fiumi è solo ed unicamente colpa nostra. Siamo abitanti di questo pianeta così come gli animali o gli insetti, ma ancora oggi ci ostiniamo a non riconoscere che la Natura ha delle regole, e senza rispettarle si va poco lontano. 

Siamo talmente convinti che l'unica legge che governa il mondo sia l'Economia (e il progresso), ma bisognerebbe ricordarsi che questa non è altro che una sovrastruttura creata da noi stessi. Le leggi dell'Economia non si applicano alla Natura, ma vanno scritte in modo da soddisfare le leggi che sono presenti da millenni, milioni di anni.

E se qualche professorone della Bocconi vi viene a dire il contrario, fatelo riflettere, ditegli che quando la Natura trova un ostacolo, lo cancella. Senza pensarci due volte. Tanto, il coltello (Vulcani, terremoti) dalla parte del manico ce l'ha sempre lei.

 

 

Le previsioni probabilistiche "fai-da-te"

Abbiamo già parlato dei problemi che sorgono quando si cerca di prevedere l'evoluzione del tempo meteorologico in un certo luogo sulla Terra. Paradossalmente i Fisici sono (forse) l'unica categoria veramente conscia dei propri limiti: come scienziati (ora, non vorrei offendere nessuno..) ci definiamo ignoranti. Il nostro è solo un tentativo di spiegare la complessa realtà, ma sappiamo benissimo di riuscire solo in parte nello scopo...ma questo ci diverte e ci appassiona!

Abbiamo anche parlato del meccanismo attraverso il quale si amplificano gli errori delle misurazioni e si traducono in errori sulle previsioni. Associato a questo tipo di errore c'è anche un effetto, certamente non trascurabile: la nonlinearità. Cercando di evitare astrusi paroloni, la nonlinearità è quella simpatica cosa che manda tutto a farsi benedire, quel pezzo di equazione che rende vani (quasi) tutti i tuoi sforzi di comprendere appieno un sistema fisico. Praticamente vi basti sapere che le equazioni già semplificate decine di volte devono contenere, per poter descrivere meglio la realtà, dei pezzi aggiuntivi che purtroppo si comportano in modo quasi del tutto casuale: in altre parole si comportano in maniera caotica. Molti lavori sono stati fatti per studiare il Caos Deterministico (quella parte dei comportamenti caotici che riusciamo a descrivere più o meno formalmente) da un punto di vista matematico: già Lorenz (non quello dell'Elettromagnetismo!!) tentò, tramite il suo modello, di studiare le peculiarità di un sistema semplice nelle prerogative, ma complesso nel comportamento.

Il matematico-meteorologo osservò che, utilizzando delle equazioni semplificate nonlineari e integrando numericamente (abbiamo già visto in cosa consiste questo procedimento) per fare una previsione, si ottenevano risultati molto diversi in base alle condizioni iniziali (abbiamo parlato anche di questo). Impostando condizioni che differivano di pochissimo il comportamento finale delle due soluzioni cambiava di molti ordini di grandezza: da qui la definizione di caos deterministico. Parlando praticamente:  due condizioni iniziali molto vicine come 16,8°C e 16,9°C (ma...voi la sentite la differenza di un decimo di grado??) avrebbero prodotto due stati finali previsti di 20°C e 32°C: questo, si, fa una bella differenza!

Come al solito quei mattacchioni dei Fisici hanno molto a cuore la prevedibilità di un sistema: ci piacerebbe molto poter controllare se e quando il comportamento di un sistema diventerà caotico e se si, in che modo. Per questo da pochi anni i Meteorologi si sono inventati uno scaltro modo di procedere: le previsioni probabilistiche. Seguendo il pensiero di Lorenz si parte da una condizione iniziale, la si perturba (ovvero, si inseriscono delle fluttuazioni casuali intorno al valore misurato) e si integra numericamente ogni stato perturbato. Tornando al nostro esempio con le temperature supponiamo quindi di misurare in una certa zona-la stessa in cui vogliamo fare la previsione- 16,8°C e quindi di prendere come condizioni iniziali perturbate una serie di temperature 15,0°C ; 15,1°C.......16,8°C....17,1°C e chi più ne ha, più ne metta.. Il metodo reale ovviamente è molto più complesso ma si basa più o meno su questo tipo di ragionamento.

L'evoluzione degli stati perturbati produrrà quindi degli stati finali che differiscono sicuramente tra di loro..ma qui viene il bello!

La differenza tra due stati finali dipenderà dalla natura caotica del sistema e quindi sarà un indice di quanto potrà essere affidabile una previsione fatta per quella zona.

Se la forbice tra lo stato maggiormente perturbato e quello minormente perturbato si allarga, diciamo, di 10 gradi, sarà molto difficile fare una previsione affidabile dato che il sistema non è predicibile. Viceversa se questa è molto più stretta, sarà maggiormente possibile dare un'indicazione più precisa sulla tendenza della temperatura.

I prodotti di questo tipo di previsioni sono gli ensemble forecast che hanno come prodotto più "famoso" i cosìdetti spaghi o spaghetti, vi lascio immaginare il perché del nome osservando un immagine tipo.

Spaghetti per Bologna

Giusto qualche precisazione:
  • lo "spago" (passatemi il termine) verde rappresenta lo spago associato al modello di riferimento americano (vi basti sapere questo..),
  • lo spago rosso rappresenta la media fatta su 30 anni (ovviamente è più smussata degli altri...),
  • lo spago grigio rappresenta la media di tutti gli
  • altri spaghi colorati che rappresentano tutte le varie perturbazioni alla condizione iniziale,
  • la data in cui è stato prodotto il modello è in alto a destra (12 settembre 2013 - emissione di mezzanotte)
  • l'evoluzione temporale della previsione è indicata in basso e, in questo caso, si spinge fino al 28 settembre

Tutti gli spaghi nella parte superiore dell'immagine rappresentano le temperature all'altezza di circa 1500 metri, mentre quelli nella parte inferiore sono le precipitazioni previste sempre con lo stesso metodo di ensemble.

Questa strana immagine, che sembra priva di alcuna informazione ad una prima occhiata, può invece darci un sacco di informazioni che ci permettono anche di formulare una piccola previsione a lungo termine.

Riferendoci all'immagine precedente possiamo infatti notare che siamo in una fase leggermente sotto-media (guardate come tutti gli spaghi sono sotto quello rosso in questo periodo) che sarà rimpiazzata da una risalita delle temperature (medie, ricordiamolo!!) dopo il 16 settembre: si intravede anche qualche precipitazione che accompagnerà questo cambiamento verso il 15 di settembre (parte bassa del grafico). Ricordiamoci che più gli spaghi si allontanano (ovviamente col tempo si distanzieranno comunque visto che decade comunque l'affidabilità delle previsioni per quanto già detto e ridetto) più la previsione sarà inaffidabile: per uno stesso lasso temporale si potranno infatti avere uno spago "sbarazzino" che si porta su temperature molto alte mentre un altro che ricade in basso. In questo caso l'unica cosa che potremmo dire è che le situazione della temperatura sarà compresa tra questi due spaghi, ma vi sarà una grande incertezza associata a questa affermazione. Più la forbice sarà stretta, maggiore sarà la precisione  potremmo associare alla previsione. Riferendoci sempre allo stesso grafico possiamo notare che cercare di formulare una previsione oltre il 17 settembre è molto difficile perché abbiamo uno spago che si porta sugli 0 gradi (ricordiamoci di nuovo che siamo a circa 1500mt!) ed uno che sale su sopra i 15 gradi. Questo perché ci troviamo in un periodo di cambiamento della stagione, e quindi l'instabilità e l'incertezza associata alle condizioni meteorologiche è molto alta.

Bene, avete già fatto la vostra previsione? Al Lavoro!

P.S. Se volete proprio essere precisi nella vostra previsione, ricordatevi che per ottenere la temperatura al suolo dovete aggiungere circa 1 grado ogni 100 metri. Quindi dalla temperatura ottenuta per 1500 metri (quella mostrata dagli spaghi) dovrete aggiungere circa 15 gradi (13-14 gradi è meglio, visto che il tasso di decrescita della temperatura è qualcosa come 0,98°C ogni 100 metri).

Temporali Estivi: perché?

Con l'arrivo dell'Estate e dei lunghi periodi di stabilità (sole, sole e ancora sole!) si è aperta anche la stagione dei temporali e degli acquazzoni Estivi. Per alcuni potrebbe sembrare controverso che i fenomeni temporaleschi più intensi si verifichino, appunto, nella bella stagione e non nei freddi periodi invernali. Proviamo a spiegare perché.

Per spiegare i fenomeni temporaleschi, o più in generale i fenomeni di precipitazione, bisogna partire da una descrizione generale del processo di formazione delle nubi. Sappiamo che queste sono costituite da goccioline condensate di vapore acqueo, sedimentate in una certa porzione di atmosfera grazie all'azione congiunta della bassa forza peso e della spinta di Archimede. Dato che l'Atmosfera in condizioni standard è un sistema stabile, almeno su base locale, per formare una nube c'è bisogno che intervenga un'azione forzante esterna, che costringa il vapore acqueo a condensare in goccioline di nubi. Questa azione esterna può avvenire in diversi modi:

  • Sollevamento orografico: le nubi sono costrette dal flusso al passaggio sopra una catena montuosa; nella salita l'aria si raffredda dato che si espande e quindi tende a condensare.
  • Sollevamento frontale: il contrasto di masse d'aria molto fredde e molto calde provoca delle risalite molto repentine di aria calda.
  • Convergenza di aria: la presenza di basse pressioni al suolo richiama aria da aree circostanti, il sollevamento forzato dalla convergenza produce la condensazione

Questi sono i principali meccanismi di formazione delle nubi nei mesi invernali, periodi in cui il riscaldamento del suolo è molto ridotto. Viceversa in Estate si aggiunge alla lista un quarto modo di formazione delle nubi, il più importante e vigoroso:

  • Convezione

Il riscaldamento del terreno provoca dapprima il mescolamento di uno strato a contatto con il terreno e successivamente la risalita di una bolla d'aria. Infatti l'aria calda tende ad essere meno densa dell'ambiente circostante e quindi tende a salire, aiutata dalla spinta di Archimede. A questo punto la bolla d'aria in risalita ha due opzioni:

  1. se l'ambiente circostante è costantemente più freddo della particella, questa tenderà a salire fino a che la differenza di temperatura diventerà nulla.
  2. appena la particella raggiunge la temperatura dell'ambiente si fermerà e, eventualmente, tenderà nuovamente a scendere o andrà incontro ad oscillazioni per raggiungere l'equilibrio.

La risalita intrapresa dalla particella dipende ovviamente dalle condizioni ambientali che si sono formate nei giorni precedenti: la stagnazione di aria fredda nei bassi stati unita ad una vigorosa inversione negli altri strati favorirà la risalita della particella. Ovviamente più le condizioni per la risalita sono favorevoli, maggiore sarà la possibilità di formazione di nubi cumuliformi. Queste sono infatti le tipiche nubi associate ad una forte risalita di aria più calda in aria saturata di vapore.

Un cumulo molto esteso in stadio di formazione

Se il riscaldamento della superficie continua e le condizioni sono favorevoli il cumulo potrà assumere dimensioni notevoli, come nella foto precedente, e sviluppare precipitazione, anche a carattere temporalesco (non ci soffermeremo anche sulla spiegazione di questo fenomeno che richiede molta fisica). A questo punto la domanda sorge spontanea: come è possibile ottenere una probabilità numerica che indichi la possibilità di formazione di cumuli molto estesi e quindi anche di temporali? Per questo ci vengono in aiuto i radiosondaggi ovvero misure di temperatura, pressione, umidità, vento fatte a tutte le altitudini, utilizzando palloni atmosferici lanciati da una stazione apposita. Passiamo quindi ad analizzare subito il radiosondaggio di ieri mattina nei pressi di Roma, dove si sono sviluppati forti temporali pomeridiani.

Il Radiosondaggio per Pratica di Mare (RM) la mattina del 19 luglio 2013
Il Radiosondaggio per Pratica di Mare (RM) la mattina del 19 luglio 2013

Senza addentrarci nei dettagli fisici, possiamo notare che le linee nera e verde rappresentano rispettivamente la temperatura e la temperatura di rugiada misurate dell'aria. La linea rossa mostra invece il percorso che sarebbe seguito da una particella fatta salire in modo da non scambiare calore con l'ambiente e senza condensare. Il fatto che la linea nera sia, per un lungo periodo, sotto a quella rossa indica che la particella in salita, a causa del riscaldamento del terreno, si troverà sempre in una condizione instabile e tenderà quindi a salire fino a quando le due linee si uniranno di nuovo. L'area tra le due linee ci fornisce quindi un'indicazione di quanto l'aria sia instabile e incline quindi alla formazione di temporali. Un indice utilizzato spesso in questi casi è il CAPE che vediamo avere un valore di circa 2000 J/kg nell'immagine. Ecco perchè ieri abbiamo assistito alla formazione di molti temporali sul Centro Italia, che si erano già sviluppati nella mattina, come mostrato nella seguente immagine.

Un'immagine dal Satellite Polare TERRA in passaggio intornoalle 10 di mattina sulle regioni del Centro Italia.
Un'immagine dal Satellite Polare TERRA in passaggio intorno alle 10 di mattina sulle regioni del Centro Italia.

Ovviamente le spiegazioni date sono del tutto qualitative; servirebbe molto più formalismo e spiegazioni accurate ma ho cercato di fare un tentativo e mettere insieme gli aspetti più importanti nel modo più semplice possibile.

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